У нас же дискретные случайные величины, и число вариантов не такое уж большое. Давайте нарисуем как всё это выглядит в целом, но вам придётся честно следить за рассуждениями, а я попытаюсь проговаривать все непонятные моменты.
Имеем три первоначальных варианта:
1) М К К
2) К М К
3) К К М
, где М - машина, К- коза.
Вероятность каждого варианта - 1/3.
Далее вы можете подойти к любой из 3-х дверей независимо от расстановки приза.
1.1) МИ К К - вероятность 1/9
1.2) М КИ К - вероятность 1/9
1.3) М К КИ - вероятность 1/9
2.1) КИ М К - вероятность 1/9
2.2) К МИ К - вероятность 1/9
2.3) К М КИ - вероятность 1/9
3.1) КИ К М - вероятность 1/9
3.2) К КИ М - вероятность 1/9
3.3) К К МИ - вероятность 1/9
,где И - игрок.
Здесь уже можно посчитать сколько выигрышных позиций у игрока если он не изменит своему первоначальному выбору: всего вариантов 9, из них совпадение МИ только в трёх случаях - 1.1, 2.2 и 3.3. То есть выигрышных 3 варианта из 9 дают вероятность выигрыша - 3/9, или, что то же самое - 1/3.
Далее ведущий открывает дверь с козой. Для вариантов где он может это сделать двумя разными способами вероятность делится пополам. Например, если само состояние 1.1) МИ К К может произойти с вероятностью 1/9, то два разных исхода из этого состояния будут случаться ещё в 2 раза реже:
1.1.1) МИ О К - вероятность 1/18
1.1.2) МИ К О - вероятность 1/18
1.2.1) М КИ О - вероятность 1/9
1.3.1) М КО КИ - вероятность 1/9
2.1.1) КИ М КО - вероятность 1/9
2.2.1) КО МИ К - вероятность 1/18
2.2.2) К МИ КО - вероятность 1/18
2.3.1) КО М КИ - вероятность 1/9
3.1.1) КИ КО М - вероятность 1/9
3.2.1) КО КИ М - вероятность 1/9
3.3.1) КО К МИ - вероятность 1/18
3.3.2) К КО МИ - вероятность 1/18
Видим что и в данным момент если игрок не поменяет своего выбора, то вероятность выигрыша будет суммой вероятности случаев 1.1.1, 1.1.2, 2.2.1, 2.2.2, 3.3.1 и 3.3.2, где игрок стоит около двери с машиной (комбинация МИ): 1/18+1/18+1/18+1/18+1/18+1/18 = 6/18 = 1/3. То есть, всё осталось как и было, открытая дверь ни к каким изменениям не привела.
Но теперь мы можем оценить какова вероятность выиграть машину если игрок поменяет свой первоначальный выбор. На нашей схеме это соответствует сумме вероятностей случаев где М без И: 1.2.1, 1.3.1, 2.1.1, 2.3.1, 3.1.1 и 3.2.1. Этих вариантов 6 и их вероятности равны 1/9, значит общая вероятность выигрыша будет: 6*1/9 = 2/3.
Мне представляется что подобную схему могут понять даже малые дети.
Это сообщение отредактировал Archimedis - 21.02.2025 - 11:32