Интересная задача по математике

Въебите автору задачи , волки отлично плавают. Конец.

Это математическая задача, никакого волка и зайца нет, есть точка "В" и точка "З".
Точка "В" может перемещаться по окружности, а точка "З" изначально находится в центре этой окружности. Пока "З" перемещается на один пиксель - точка "В" - на четыре", стартуют они одновременно и точка "В" мгновенно меняет направление в зависимости от направления движения точки "З", потому что в математике интересно найти пограничные значения. Волк мог бы просто заснуть и мы бы все разошлись, зевая.

Зайцу надо звать медведя, иначе,- 3,14!

Размещено через приложение ЯПлакалъ

В школьные годы участвовал в олимпиадах по математике, так как любил этот предмет (алгебра, геометрия), сейчас сел решать задачу и понимаю, что с мыслительным процессом уже гораздо хуже. Беда...

При к=4 волк зайца не догонит, в случае если к>=пи+1 зайцу уже не уйти.

Какие сопли? Сразу за добавкой ему ехать. Иначе и из машины не выпустят, по приезду развернут.

Размещено через приложение ЯПлакалъ

Неверные логические и математические выводы при составление уравнения ведут к неправильным решениям
За зайца уже сыграли
Попробуйте составить алгоритм движения волка при котором заяц не сможет убежать

Это сообщение отредактировал Suxum - 30.11.2024 - 01:38

Заяц плывет по прямой в самую дальнюю точку от волка. Пройденный путь R. Время t. Соответствеено скорость зайца R/t. Скорость волка по условию 4R/t. Очевидно, что волк успеет пробежать за время t дистанцию, большую, чем PiR.
Ну и собственно волк поймает зайца при скоростном коэффициенте больше либо равно пи.

Любые другие перемещения зайца менее эффективны, что несложно доказать разложением по осям.

А волк может развернутся и бежать не 3/4 а 1/4?

Размещено через приложение ЯПлакалъ

Нет

Размещено через приложение ЯПлакалъ

Алгоритм движения волка на самом деле значительно сложнее исходной задачи.
По условию предполагается, что волк всегда выбирает наилучшую траекторию движения, но вот написать куда должен бежать волк в зависимости от координат зайца и вектора его движения, я на коленке не смог. Надо бумагу и ручку брать.

Хотя нет. Все просто. Заяц всегда находится на радиусе. Волк всегда должен выбирать кратчайшую дугу в направлении пересечения этого радиуса и окружности. Единственный момент - центр озера. Мгновенно ли реагирует волк при смещении зайца по радиусу или нет. Но это имеет значение лишь при коэффициенте скорости волка строго равном пи.

Это сообщение отредактировал Botya666 - 30.11.2024 - 02:58

Считать лень. А зайцу нахуя лезть на берег к волку? Суицидальные наклонности? Сиди себе на острове, раз волк типо плавать не умеет....

Размещено через приложение ЯПлакалъ

Прочитал захватывающие первые 10 страниц темы, честно, поражен как много отзывчивых людей готовыпомочь зайцу в выборе и расчете наилучшей стратегии убегания, не оставят в беде ушастого. А волке вот никто и неподумал

Заяц проплывет расстояние R
Волк пробежит pi R
V зайца=1, Vволка=4

t зайца=R/1
t волка=(pi R)/4

Ответ:
Время зайца= R
Время волка= 0,78R
Волк быстрее (скушает зайца к сожалению)

Это сообщение отредактировал 4yvak - 30.11.2024 - 11:50

Что бабы говорят?

Размещено через приложение ЯПлакалъ

По максимальным точкам удаления зайцу надо проплыть Д (диаметр), а волку оббежать полкруга на расстояние 3,14*Д/2=1,57*Д
t=S/v
Время зайца Д/1=Д
Время волка 1,57*Д/4=0,39*Д
Волк поймает зайца и...
Заяц может убежать от волка, если волк будет бежать всего в 1,56 раз (и меньше) быстрее плывущего зайца
имхо старого школоло)))

Это сообщение отредактировал UPman - 30.11.2024 - 15:18

Огромное спасибо за задачу! Я решал её в детстве, но уже плохо помнил. Пришлось подумать.
Что такое "безопасная окружность"?
Когда заяц находится на расстоянии 1/х от центра пруда и волк начал движение, заяц должен плыть по направлению 47,0641 градусов от прямой линии заяц - волк. Именно это направление максимизирует х. Сам х получается равным 4.6232705444.
Волку невыгодно менять направление, потому что тогда заяц выбирает направление, отклонённое на тот же угол в другую сторону, и волк тут же меняет направление на обратное.
Если данную ситуацию воспринимать как необходимость интегрировать путь по бесконечно малым отрезкам, то получится более сложная ситуация - заяц, пока волк бежит от места старта первые примерно 18 градусов дуги, должен плыть по направлению точки, отстоящей от оси старта заяц - волк на угол в 2 раза больший чем размер дуги вокруг пруда, которую пробежал волк. Как только точка "прицела" зайца совместится с точкой максимизации х в екущих условиях, он продолжает плыть в неё по прямой.
Удивительно, но в последнем случае, по моим прикидкам, получается примерно тот же результат что и у вас.

Не должен потому как не диаметр а радиус.
Стратегия зайца - плыть строго по диаметру от волка. Расстояние которое долже пробежать волк - половина круга. Пr.
Значит если к больше или равно П - он догонит зайца.

Вот вроде бы уже и на пальцах расписано, но находятся экземпляры
как говорят классики, во России, ... припасено....

По интуиции

Скорость зайца Х ,скорость волка 4Х
Даны начальные и граничные условия нахождения точек на плоскости.
Иных условий в задаче не прописано.
При решение математических задач остальные данные принимаются равными.
Заяц движется по оптимальной траектории
Волк будет бежать по оптимальной траектории.
Код
sqrt(1 - (1/k)**2) / 1 = (3pi/2 - arcsin(1/k)) / k // умножаем обе части на k
sqrt(k**2 - 1) = 3pi/2 - arcsin(1/k)

Это трансцендентное уравнение можно решить только численно, его корень примерно равен 4.60334 , что и является ответом данной задачи.
Составляя уравнение используйте условия :Х и 4Х.
Путь зайца не является константой равной 1
Это трансцендентное уравнение можно решить только ЧИСЛЕННО

Это сообщение отредактировал Suxum - 30.11.2024 - 23:40

Простоты ради мы ограничимся рассмотрением только охоты на львов (Fells leo), живущих в пустыне Сахара. Перечисленные ниже методы с легкостью можно модифицировать и применять к другим плотоядным, обитающим в разных частях света.
1. Математические методы

1. МЕТОД ИНВЕРСИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Помещаем в заданную точку пустыни клетку, входим в нее и запираем изнутри. Производим инверсию пространства по отношению к клетке. Теперь лев внутри клетки, а мы – снаружи.

2. МЕТОД ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Без ограничения общности мы можем рассматривать пустыню Сахара как плоскость. Проектируем плоскость на линию, а линию – в точку, находящуюся внутри клетки. Лев проектируется в ту же точку,

3. МЕТОД БОЛЬЦАНО – ВЕЙЕРШТРАССА. Рассекаем пустыню линией, проходящей с севера на юг. Лев находится либо в восточной части пустыни, либо в западной. Предположим для определенности, что он находится в западной части. Рассекаем ее линией, идущей с запада на восток. Лев находится либо в северной части, либо в южной. Предположим для определенности, что он находится в южной части, рассекаем ее линией, идущей с севера на юг. Продолжаем этот процесс до бесконечности, воздвигая после каждого шага крепкую решетку вдоль разграничительной линии. Площадь последовательно получаемых областей стремится к нулю, так что лев в конце концов оказывается окруженным решеткой произвольно малого периметра.

4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. Заметим, что пустыня представляет собой сепарабельное пространство. Оно содержит всюду плотное множество точек, из которого мы выбираем последовательность точек, имеющих пределом местоположение льва. Затем по этим точкам, захватив с собой необходимое снаряжение, крадучись, подбираемся к льву.

5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД. Заметим, что связность тела льва во всяком случае не меньше, чем связность тора. Переводим пустыню в четырехмерное пространство. Согласно работе [1], в этом пространстве можно непрерывным образом выполнить такую деформацию, что по возвращении в трехмерное пространство лев окажется завязанным в узел. В таком состоянии он беспомощен.

6. МЕТОД КОШИ, ИЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ. Рассмотрим льва как аналитическую функцию координат f(x) и запишем интеграл
где С– контур, ограничивающий пустыню, а у – точка, в которой находится клетка. После вычисления интеграла получается /(у), то есть лев в клетке.

Прошу прощения за задержку - местному модератору не понравилось что я назвал вещи своими именами, поэтому сейчас я могу писать сюда только одно сообщение в сутки.
Нашёл у себя в численном моделировании ошибку. Исправил, получил ваш ответ - 90 градусов, то есть по касательной к "безопасной" окружности. Значение коэффициента x тоже ваше, в пределах погрешностей.
Мне непонятно почему отношение длины полухорды от положения зайца в начале пункта 3 до окружности к длине дуги, пробегаемой волком максимизируется точно для хорды, перпендикулярной начальному положению заяц-волк. Может быть здесь используется какое-то свойство хорд из школьного курса математики, клторое я не помню? Если не трудно, объясните, пожалуйста. Если что, у меня диплом педагогического университета по специальности математика, поэтому не стесняйтесь в терминах.

По поводу ломаной и интегрирования, я просто пытался обосновать почему волку в 3-й фазе задачи невыгодно менять направление на противоположное. Я ещё немного подумал, и обоснование видится такое: если волк меняет направление и добегает до точки пересечения прямой заяц-центр_озера, то он оказывается в ситуации худшей чем в начале фазы 3 - волк там же, а заяц уже чуть ближе к берегу. Поэтому интегрировать ничего не нужно, волку просто выгоднее бежать в одну сторону.

Извините, ответить сразу не смогу.

Понятно, что по прямой двигаться нельзя, поскольку расстояние r со скоростью v человек проплывет медленнее, чем людоед пробежит расстояние Пи r со скоростью 4v.
Значит, человек должен плыть по кругу некоторого радиуса. Каков радиус самого большого круга с центром в середине озера, по которому человек может двигаться так, чтобы людоед успевал за ним? Это такой круг, который позволил бы человеку преодолевать расстояние, составляющее четверть того, что преодолевает людоед, т. е. круг с радиусом r/4.
Итак, человек начинает движение по спирали от центра озера, приближаясь к окружности радиусом r/4, но все таки оставаясь внутри нее. При таком движении людоед начинает постепенно отставать. Человек плывет так до тех пор, пока людоед не отстанет от него на полные 180 градусов. Тогда человек окажется на противоположной от людоеда относительно центра стороне озера. Расстояние между ними будет 5/4 r. Как только это произойдет, человеку должен перестать двигаться по спирали и поплыть по прямой к самой дальней от людоеда точке на берегу озера. Человеку нужно преодолеть расстояние 3/4 r, а людоеду — расстояние Пиr. При этом человек движется со скоростью v, а людоед – со скоростью 4v. Следовательно, человеку понадобится времени 3r/(4v), людоеду – Пиr/(4v). Понятно, что первое меньше второго и человек доберется до берега раньше.

Почему-1 - это элементарно, движение зайца не зависит от движения волка на третьем этапе, цель зайца - точка на окружности, а минимальное расстояние между точками - прямая линия.

...
Всё, я понял почему.
Сейчас объясню всем. :)
Для определённости, выберем систему координат с центром в центре пруда (точка О), осью ординат от центра пруда к зайцу (на север) и осью абсцисс направо (для случая - волк бежит по часовой стрелке).
Тогда координаты зайца: (0, 1/х) - назовём точкой Z.
Удаление зайца от ближайшей точки на севере, по оси ординат, её назовём точкой N, составляет 1-1/x.
Волк за это же время пробежит (1-1/х)*х = х-1 и также окажется в точке N.
Теперь предположим что есть какая-то точка правее точки N, которая максимизирует х.
Для длины дуги d получаем следующее условие:
(Pi + d)/sqrt(sin²(d)+(cos(d)-1/x)²)=x -> max d
Оказывается эта функция растёт неограниченно при увеличении d.
То есть, если бы заяц мог плыть даже с бОльшим углом чем 90 градусов, то x мог быть бы ещё больше. Почему же заяц не может плыть ни йоту на юг? Потому что тогда заяц не выплывает из безопасного круга и волк может улучшить своё положение изменив направление. И это ответ на Почему-2.

Спасибо ещё раз за задачу, просто ожидал в конце получить полный ответ, но пришлось описывать всё самому. :)