Я и в наше время не вижу смысла добавлять картошку в борщ, разве что для увеличения калорийности и объема. Томаты или томатную пасту, или там, фасоль... ну, можно чуть добавить для вкуса, но тоже не обязательно.
Капуста, свекла, зажарка из лука и моркови, мясной или куриный бульон (ну, соль и зелень еще) - все остальное настолько опционально, что можно и не заморачиваться.