«Мы больше ничего не можем доказать до конца». Учёные поняли: вся математика держится на честном слове

Бесконечность сломала самую “точную” науку и заставила придумывать законы на ходу

Кажется, что в такой точной науке как математика каждое утверждение держится на доказательстве. Но у любого доказательства есть начало: правила, которые не выводят из других правил, а принимают как исходные. Без таких правил нельзя доказать даже базовые вещи. История ZFC - главной аксиоматической системы современной математики, показывает, что фундамент науки о числах и бесконечностях складывался не из очевидных истин, а через споры, парадоксы и проверку на пользу для всей математики.

Сегодня ZFC почти незаметно лежит под большей частью современной математики. Полное название системы - теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. В неё входит 10 базовых принципов, с помощью которых математики описывают множества, числа, функции, пространства и более сложные конструкции. Многие исследователи просто работают внутри этой системы и редко отдельно обсуждают её основания. Но если посмотреть на историю ZFC внимательнее, становится ясно: аксиомы приняли не потому, что каждая из них выглядела самоочевидной. За этим выбором стояли математические задачи, неудачи старых подходов и желание сохранить мощный язык для работы с бесконечностью.

В конце XIX века математика быстро разрасталась, но общего фундамента для разных областей не хватало. Геометрия опиралась на постулаты Евклида, арифметику пытались формализовать отдельными схемами, анализ и теория функций развивались своим путём. Возник вопрос, можно ли описать всю математику одним набором правил, чтобы разные разделы говорили на общем языке и не порождали противоречий.

Таким языком постепенно стала теория множеств. Множество - это набор объектов: чисел, фигур, функций или даже других множеств. Простая идея оказалась удивительно сильной, потому что почти любую математическую конструкцию можно представить через множества. Числа можно строить как специальные множества, функции - как множества пар, пространства - как множества точек с дополнительными правилами. Теория множеств обещала связать разные области математики в единую систему.

Большую роль сыграли работы Георга Кантора. Он изучал вещественные числа, то есть все числа на числовой прямой, включая дроби и иррациональные значения. Кантор показал, что бесконечности бывают разных размеров: целых чисел бесконечно много, но вещественных чисел больше. Для математики того времени вывод оказался резким и неудобным. Бесконечность перестала быть одним расплывчатым понятием и превратилась в объект, который можно сравнивать, упорядочивать и изучать строгими методами.

Но ранняя теория множеств оказалась слишком свободной. Если множество можно задавать любым свойством, то система быстро допускает опасные конструкции. Самый известный пример - парадокс Рассела. Представим множество всех множеств, которые не содержат сами себя. Дальше возникает вопрос: принадлежит ли это множество самому себе? Если принадлежит, значит, по собственному определению не должно принадлежать. Если не принадлежит, значит, подходит под условие и должно принадлежать. Любой ответ приводит к противоречию. Такие парадоксы показали, что теории множеств нужны строгие ограничения.

На этом фоне Эрнст Цермело занялся одной из идей Кантора - принципом вполне упорядочения. Кантор считал, что любое множество можно расположить в порядке, при котором у каждого непустого подмножества будет первый элемент. Для конечных наборов такая мысль почти очевидна: предметы можно расставить так, чтобы всегда был первый. С бесконечными множествами всё сложнее.

Например, целые числа в обычном порядке идут бесконечно в обе стороны: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... У подмножества отрицательных чисел нет наименьшего элемента, потому что всегда найдётся число ещё меньше. Но порядок можно задать иначе: 0, -1, 1, -2, 2 и дальше по похожей схеме. Тогда среди отрицательных чисел первым окажется -1. Кантор утверждал, что подходящий порядок можно подобрать для любого множества, даже если явно построить его невозможно.

В 1904 году Цермело доказал принцип вполне упорядочения через другое утверждение, которое позже назвали аксиомой выбора. Её смысл можно объяснить без формул. Представим много непустых наборов. Аксиома выбора разрешает взять по одному элементу из каждого набора и собрать новое множество. Когда наборов конечное число, затруднения почти нет. Когда наборов бесконечно много и нет общего правила выбора, утверждение становится гораздо менее очевидным.

Цермело начал выписывать аксиомы, которые нужны для такого доказательства. Он фиксировал допущения о том, что множества существуют, что новые множества можно строить из уже имеющихся, что бесконечные множества тоже допустимы. Позже Абрахам Френкель и другие математики уточняли этот список, закрывали лазейки и добавляли правила, нужные для более сложных разделов теории множеств. Так постепенно сложилась система ZF - теория множеств Цермело-Френкеля.

ZF хорошо справлялась с главной задачей: она убирала многие противоречия ранней теории множеств, включая парадокс Рассела. Теперь нельзя было просто взять любое словесное условие и объявить все подходящие объекты множеством. Математики получили более безопасный язык, где новые множества строятся по правилам, а не по произвольному описанию.

Аксиома выбора долго оставалась спорной. Остальные принципы ZF чаще воспринимались как конструктивные правила: они показывали, как получить новое множество из уже заданных. Аксиома выбора вела себя иначе. Она утверждала существование набора выбранных элементов даже тогда, когда нет явного способа указать, какой элемент нужно взять из каждого множества. Для многих математиков такой шаг выглядел слишком сильным.

Дальше надежду на окончательно прочный фундамент усложнили результаты Курта Гёделя. Он показал, что любая достаточно сильная аксиоматическая система, в которой можно выполнять обычную арифметику, не может доказать собственную непротиворечивость. Более того, если такая система непротиворечива, в ней всё равно найдутся истинные утверждения, которые нельзя доказать средствами самой системы. Это означало, что математика не получит полного внутреннего сертификата собственной надёжности.

В 1960-х годах Пол Коэн доказал ещё один важный результат: аксиома выбора независима от остальных аксиом ZF. Внутри ZF нельзя доказать аксиому выбора, но нельзя доказать и её отрицание. Логика не заставляла принять это правило и не позволяла окончательно отбросить его. После этого спор сместился: математики стали оценивать не самоочевидность аксиомы выбора, а её последствия.

Последствия оказались слишком важными, чтобы игнорировать. Аксиома выбора делает возможными многие результаты, особенно в областях, где математика работает с бесконечными объектами. Без неё привычные инструменты становятся беднее, а некоторые теоремы исчезают или требуют более слабых формулировок. Поэтому аксиому выбора постепенно приняли гораздо шире. К ZF добавили букву C от choice, и система получила современное название ZFC.

История ZFC показывает, что аксиомы в математике не всегда работают как очевидные истины. Иногда правило принимают потому, что оно устраняет противоречия, даёт сильные теоремы, хорошо сочетается с другими принципами и позволяет двигаться дальше. Такой выбор не делает математику произвольной. Он показывает, что даже в самой строгой науке фундамент складывается через проверку последствий.

ZFC стала рабочим языком почти всей современной математики именно потому, что пережила парадоксы и дала удобные правила для работы с множествами и бесконечностью. Но история аксиомы выбора напоминает: под доказательствами лежит не финальный список самоочевидных истин, а система правил, которую математики приняли после долгой борьбы с противоречиями.

Источник