Родилась в Ленинграде. В конце 1940-х годов Клара переехала в Москву и с первой попытки поступила во ВГИК. Училась у Сергея Герасимова и Тамары Макаровой.
С детства у нее был очень низкий голос. Все изменил случай – однажды Румянова очень сильно простыла, простуда вызвала осложнение – крупозное воспаление легких, от которого девушка чуть не умерла. Клара потеряла голос, продолжение учёбы оказалось под угрозой. Когда же её голос полностью восстановился, он оказался вдруг очень высоким. Именно этот голос очень хорошо знаком миллионам телезрителей.
Сниматься в кино начала, ещё будучи студенткой. На экранах она появилась в фильмах «Сельский врач», «Они были первыми», «Четверо», «Воскресение», «12 стульев» и других. Клара записывалась на радио, исполняла детские песни, романсы, выступала на эстраде с поэтическими композициями.
Её по праву называют «Голос нашего детства» – ведь более
трёхсот мультфильмов озвучены этой замечательной актрисой. Она единственная удостоена почётного звания Заслуженной артистки РСФСР за работу в мультипликации. Автор книги «Имя мне — женщина».