Горбатые киты VS подсолнухи

фотограф Пит ван ден Бемб который снял с дрона, как горбатые киты в Антарктике рисуют в воде спираль Фибоначчи



10 картинок + текст

Пропорция золотого сечения известна людям уже несколько тысяч лет и всё это время не теряет популярности как в чисто математической среде, так и среди художников, скульпторов, философов, биологов. Золотое сечение можно найти в:

Классической живописи

-Скульптуре
-Архитектуре
-Принципах перспективы и композиции фотографий
-Попорциях человеческого тела
-Ракушках
-Растениях
-Развитии эмбрионов
-Ветвях галактик

И во множестве других, подчас весьма необычных, сфер.

Идея золотого сечения очень проста. Возьмем отрезок, и разделим его на две части Существует единственный способ разделить отрезок на две части с длинами a,b так что отношение длины всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей. В самом деле, пусть длина отрезка c = a+b ; по условию a:b = c:a

Определив Ф := \frac{a}b и немного преобразовав систему, получим квадратное уравнение:

Ф^2 = Ф + 1

У этого уравнения единственный положительный корень


Ф = \frac{(1+\sqrt{5})}2 = 1.6180339887…
Число Ф называется числом Фидия или, попросту, пропорцией золотого сечения.

На заглавной картинке изображен цветок подсолнечника маслянистого - растения, масло из семян которого вы почти наверняка регулярно употребляете в пищу. С точки зрения ботаники, большой красивый цветок подсолнуха называется "соцветием-корзинкой". Желтые лепестки соцветия - видоизмененные листья; они окаймляют корзинку из крошечных желтых цветков, каждому из которых после опыления суждено превратиться в семечко. Рассматривая корзинку подсолнуха, мы можем обнаружить удивительный факт:

Человеческий глаз легко различает, как семена группируются по спиралям - левым и правым. Их число различно. Приложив усилия, можно сосчитать, что в цветке подсолнуха на фотографии 21 спираль идет по часовой стрелке и 34 спирали - против часовой. Количества подобных спиралей называются в ботанике парастическими числами (parastichy numbers). Интересно то, что 34/21 = 1.619 что близко к Ф. Это не случайно.

Оказывается, у множества видов растений у здорового, неповрежденного цветка или розетки имеется тенденция к выбору в качестве парастических чисел двух соседних чисел следующего ряда:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Эта последовательность широко известна как последовательность Фибоначчи. Она начинается с двух единиц; каждое следующее число последовательности - сумма двух предшествующих. У ряда Фибоначчи много замечательных свойств, главным из которых для нас является то, что отношение двух соседних членов стремится к Ф. Этот замечательный факт напрямую вытекает из явной формулы для чисел ряда Фибоначчи, так называемой формулы Бине:

Как можно видеть, отношение двух соседних членов ряда Фибоначчи быстро стремится в Ф. На самом деле, это характерно для любого рекуррентного ряда, строящегося по формуле "каждый следующий член равен сумме двух предыдущих".

Откуда же члены последовательности Фибоначчи взялись в цветке?

Процесс формирования корзинки называется филлотаксисом. Внутри центральной части корзинки подсолнуха - меристемы - происходит деление зародышевых клеток, образующих сначала цветок, а потом и семечко. Сразу после рождения цветок начинает выталкиваться младшими братьями и сестрами в радиальном направлении от центра.

Закон движения единичного цветка в корзинке проще всего описать в радиальной системе координат - по радиусу и углу. Для цветка номер k из n рожденных меристемой, его радиальные координаты описываются примерно так:

Помимо n и k мы видим здесь два параметра - d и \alpha. d - некая постоянная величина, связанная с размерами цветка в соцветии.

Закон радиального выталкивания d*\sqrt{n-k} легко обосновать физически, приняв за внимание, что цветки соцветия приблизительно одинакового размера и должны покрывать собой всю свободную площадь корзинки. Интереснее закон направления \alpha * k . Он зависит от константы \alpha, которая для подсолнуха с высокой точностью равна \alpha = 137.5^{\circ}

Иными словами, порождая цветок, меристема задает ему направление движения, каждый раз меняя его это направление относительно предшествующего поворотом на 137.5^{\circ}.

то число, 137.5^{\circ}, неявным образом закодировано в геноме растения. Для того, что бы понять, что это и откуда оно берется, разделим его на 360^{\circ}, то есть вычислим, какую долю полного оборота оно составляет:

от где прячется золотое сечение! Но зачем оно нужно растению?

Для ответа на этот вопрос, обратимся к уникальному свойству числаФ- его разложению в цепную дробь.

Любое действительное число можно представить следующим способом:

Где a_0 -целое число; прочие a_k - натуральные числа. Такое представление называется цепной дробью. Если число - рациональное, его представление в виде цепной дроби насчитывает конечное число членов, и вычисляется посредством алгоритма Евклида. В противном случае, представление числа в виде цепной дроби выражается бесконечной последовательностью знаменателей. Например, знаменитое число \pi расписывается в виде цепной дроби вот так:

Наиболее важным свойством цепных дробей для математики является то, что они кодируют наилучшие рациональные приближения данного числа. В самом деле, попробуем "обрезать" дробь по одной из контурных линий. Мы получим рациональное число, приблизительно равное \pi. Утверждается, что для каждого из них не существует рационального числа с меньшим знаменателем, более близкого к \pi:

Сравните приближение \pi ≈ \frac{355}{113}≈ 3.1415929...и \pi ≈ \frac{3141592}{10000000}≈ 3.141592...

И в том и в другом случае мы получили 6 значимых цифр после запятой, но в одном случае знаменатель - 113, а в другом - 10000000. Разница, как говорится, налицо.

Теперь, наконец, разложим Фв цепную дробь. Получится следующее:

Ф = [1; 1,1,1,1,1...]

Рациональные приближения, полученные посредством обрезания этого представления, выглядят так:

\frac{3}{2} ; \frac{5}{3}; \frac{8}{5}; \frac{13}{8}; \frac{21}{13}; \frac{34}{21}; \frac{55}{34}; ...

Легко видеть, что это ни что иное, как отношения соседних членов ряда Фибоначчи. И вот теперь, сравнивая цепочку рациональных приближений числа Фс аналогичной цепочкой числа \piмы можем видеть главное математическое свойство пропорции золотого сечения.

Для любого достаточно большого n, у Фбольше рациональных приближений со знаменателем меньше чем n , чем у любого другого иррационального числа.

В самом деле. Приближая \pi, мы видим, что уже у седьмого приближения знаменатель вырос до 99532. УФзнаменатель седьмой дроби - 34. Алгоритм вычисления рационального приближения из частичного представления цепной дроби прост, и мы не будем его здесь приводить. Выведя его, легко видеть, что чем меньше числа в ряду, тем меньше будут представления, а натуральных чисел меньше, чем ряд из последовательных единиц, нельзя и представить. Одновременно с этим, Фявляется наиболее плохо приближенным числом из всех, в том смысле, что с ростом знаменателя число угаданных знаков приближения растет максимально медленно, насколько это возможно. Этот факт является прямым следствием из теоремы Гурвинца и его доказательство довольно занудно, так что мы не будем включать его в данную статью.

Суха теория, друзья, но древо жизни пышно зеленеет. Настало время сложить всё вышесказанное, и понять, как связаны: филлотаксис подсолнуха, угол 137.5, последовательность Фибоначчи, цепные дроби, рациональные приближения и фотограф Пит ван ден Бемб который снял с дрона, как горбатые киты в Антарктике рисуют в воде спираль Фибоначчи?

Ответ вас удивит - Х@Й ЕГО ЗНАЕТ, материал подготовлен при поддержке Сюда лучше не заходить

Кто дочитал тот молодец ;)

Это сообщение отредактировал denisiuk - 12.01.2024 - 15:13

Сильно

Размещено через приложение ЯПлакалъ

Ответом вполне доволен, не удивлён.
именно так и подумал когда видео смотрел.

Да тут практически все знали ответ.

ЯП познавательный для прогуливавших школу.
Про китов просто красивое.

Познавательно, спасибо.
Только прикола с посыланием нахуй не понял. Теперь фишка такая - незнакомого человека нахуй посылать?
Это как носить футболку с надписью "Иди нахуй!"
Или ТС только узнал о существовании официального сайта символического направления? Кстати, раньше нахуй на другом сайте жил.

Короче ,ТС, иди нахуй!™

Размещено через приложение ЯПлакалъ

Пифагоровы штаны на все стороны равны.
Киты такое знают?

Написано - Сюда лучше не заходить.. , и тыкни по ссылке еще разок для профилактики))

Это сообщение отредактировал denisiuk - 12.01.2024 - 15:23

да в принципе, и без дальнейших объяснений было понятно, что ни хрена ни чего не понятно

Да нихрена не удивит. А спрашивать надо британских учёных.

Кстати, авторитетные источники утверждают, что если вы будете использовать спирали Фибоначчи, натягивать сову на глобус станет значительно легче

«Человеческий глаз легко различает, как семена группируются по спиралям - левым и правым. Их число различно.»

Магия чисел 3, 6, 9.

Размещено через приложение ЯПлакалъ

При помощи таких пузырьковых сетей киты "рыбачат".



Размещено через приложение ЯПлакалъ

А может это любовь

Размещено через приложение ЯПлакалъ