Там более сложный анализ
Давайте вычислим определённый интеграл функции:
\[
\int_{0}^{1} \frac{3x^3 - x^2 + 2x - 4}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}} \, dx
\]
### Шаг 1: Анализ подынтегральной функции
Сначала рассмотрим знаменатель подынтегральной функции:
\[
\sqrt{x^2 - 3x + 2}
\]
Выражение под корнем:
\[
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
\]
Таким образом, знаменатель можно записать как:
\[
\sqrt{(x - 1)(x - 2)}
\]
### Шаг 2: Область определения подкоренного выражения
Для вещественных значений выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\[
(x - 1)(x - 2) \geq 0
\]
Решим неравенство:
- Корни: \( x = 1 \) и \( x = 2 \).
- Парабола \( (x - 1)(x - 2) \) открыта вверх.
- Неравенство выполняется при \( x \leq 1 \) или \( x \geq 2 \).
Однако в пределах интегрирования \( x \in [0, 1] \) выражение под корнем неотрицательно:
\[
(x - 1)(x - 2) \geq 0 \quad \text{при} \quad x \in [0, 1]
\]
### Шаг 3: Поведение функции на границах
Проверим поведение подынтегральной функции на границах интервала:
1. При \( x \to 1^- \):
\[
\sqrt{x^2 - 3x + 2} = \sqrt{(1 - 1)(1 - 2)} = \sqrt{0} = 0
\]
Числитель при \( x = 1 \):
\[
3(1)^3 - (1)^2 + 2(1) - 4 = 3 - 1 + 2 - 4 = 0
\]
Таким образом, в точке \( x = 1 \) подынтегральная функция имеет неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Это означает, что интеграл может быть несобственным, и необходимо проверить сходимость.
2. При \( x \to 0^+ \):
\[
\sqrt{0^2 - 3 \cdot 0 + 2} = \sqrt{2}
\]
Числитель:
\[
3 \cdot 0^3 - 0^2 + 2 \cdot 0 - 4 = -4
\]
Таким образом, в точке \( x = 0 \) функция конечна.
### Шаг 4: Исследование особенности в \( x = 1 \)
Разложим числитель и знаменатель вблизи \( x = 1 \).
Числитель:
\[
P(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 4
\]
Вычислим \( P(1) = 0 \), поэтому \( x = 1 \) является корнем. Разложим \( P(x) \) на множители:
\[
P(x) = (x - 1)(3x^2 + 2x + 4)
\]
Знаменатель:
\[
\sqrt{x^2 - 3x + 2} = \sqrt{(x - 1)(x - 2)} = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 2}
\]
Таким образом, подынтегральная функция:
\[
\frac{P(x)}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}} = \frac{(x - 1)(3x^2 + 2x + 4)}{\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 2}} = \frac{\sqrt{x - 1} \cdot (3x^2 + 2x + 4)}{\sqrt{x - 2}}
\]
При \( x \to 1^- \):
\[
\frac{\sqrt{x - 1} \cdot (3 + 2 + 4)}{\sqrt{-1}} = \frac{9 \sqrt{x - 1}}{i}
\]
Это комплексное значение, что указывает на возможную расходимость интеграла в вещественной области.
### Шаг 5: Вычисление интеграла
Подынтегральная функция в пределах \( [0, 1] \) имеет особенность в \( x = 1 \), где знаменатель обращается в ноль, а числитель также равен нулю. Однако, как видно из разложения, функция ведёт себя как \( \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 2}} \), что в окрестности \( x = 1 \) приводит к комплексным значениям.
Таким образом, интеграл от вещественной функции в данных пределах не существует в классическом смысле, так как подынтегральное выражение становится комплексным при \( x \in (0, 1) \).
### Вывод
Интеграл:
\[
\int_{0}^{1} \frac{3x^3 - x^2 + 2x - 4}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}} \, dx
\]
не существует в области вещественных чисел, так как подкоренное выражение \( x^2 - 3x + 2 \) отрицательно при \( x \in (1, 2) \), а в пределах интегрирования \( [0, 1] \) подынтегральная функция принимает комплексные значения при \( x \in (0, 1) \).
\[
\boxed{\text{Интеграл не существует в вещественной области}}
\]
Размещено через приложение ЯПлакалъ
yaplakal.com