5
Теорема Гёделя о неполноте гласит, что любая достаточно сложная и непротиворечивая формальная система (например, арифметика) содержит истинные утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть средствами самой этой системы. Грубо говоря, внутри такой системы всегда найдутся утверждения, которые истинны, но «недоказуемы», а вторая теорема говорит, что система не может доказать свою собственную непротиворечивость.
Первая теорема
Суть:
Если теория непротиворечива, в ней есть истинные утверждения, которые нельзя вывести из аксиом.
Пример (самореференция):
Утверждение «Я не доказуемо» в этой системе. Если оно доказуемо, система противоречива. Если оно истинно, но не доказуемо, система неполна.
Вторая теорема
Суть:
Непротиворечивая система не может доказать свою собственную непротиворечивость, используя только свои аксиомы.
Значение:
Это подорвало программу Гильберта, которая стремилась обосновать всю математику с помощью надежных формальных доказательств, доказывающих непротиворечивость основных систем.
Основные выводы
Математическое знание не может быть полностью сведено к механическому следованию правилам.
Существуют фундаментальные ограничения формального метода.
Теорема имеет глубокие корни в теории алгоритмов и теории вычислимости.
Размещено через приложение ЯПлакалъ
yaplakal.com