Сортировка пузырьком / Bubble sort
Будем идти по массиву слева направо. Если текущий элемент больше следующего, меняем их местами. Делаем так, пока массив не будет отсортирован. Заметим, что после первой итерации самый большой элемент будет находиться в конце массива, на правильном месте. После двух итераций на правильном месте будут стоять два наибольших элемента, и так далее. Очевидно, не более чем после n итераций массив будет отсортирован. Таким образом, асимптотика в худшем и среднем случае – O(n2), в лучшем случае – O(n).
***
Шейкерная сортировка / Shaker sort
(также известна как сортировка перемешиванием и коктейльная сортировка). Заметим, что сортировка пузырьком работает медленно на тестах, в которых маленькие элементы стоят в конце (их еще называют «черепахами»). Такой элемент на каждом шаге алгоритма будет сдвигаться всего на одну позицию влево. Поэтому будем идти не только слева направо, но и справа налево. Будем поддерживать два указателя begin и end, обозначающих, какой отрезок массива еще не отсортирован. На очередной итерации при достижении end вычитаем из него единицу и движемся справа налево, аналогично, при достижении begin прибавляем единицу и двигаемся слева направо. Асимптотика у алгоритма такая же, как и у сортировки пузырьком, однако реальное время работы лучше.
***
Сортировка расческой / Comb sort
Еще одна модификация сортировки пузырьком. Для того, чтобы избавиться от «черепах», будем переставлять элементы, стоящие на расстоянии. Зафиксируем его и будем идти слева направо, сравнивая элементы, стоящие на этом расстоянии, переставляя их, если необходимо. Очевидно, это позволит «черепахам» быстро добраться в начало массива. Оптимально изначально взять расстояние равным длине массива, а далее делить его на некоторый коэффициент, равный примерно 1.247. Когда расстояние станет равно единице, выполняется сортировка пузырьком. В лучшем случае асимптотика равна O(nlogn), в худшем – O(n2). Какая асимптотика в среднем мне не очень понятно, на практике похоже на O(nlogn).
***
Сортировка вставками / Insertion sort
Создадим массив, в котором после завершения алгоритма будет лежать ответ. Будем поочередно вставлять элементы из исходного массива так, чтобы элементы в массиве-ответе всегда были отсортированы. Асимптотика в среднем и худшем случае – O(n2), в лучшем – O(n). Реализовывать алгоритм удобнее по-другому (создавать новый массив и реально что-то вставлять в него относительно сложно): просто сделаем так, чтобы отсортирован был некоторый префикс исходного массива, вместо вставки будем менять текущий элемент с предыдущим, пока они стоят в неправильном порядке.
***
Сортировка Шелла / Shellsort
Используем ту же идею, что и сортировка с расческой, и применим к сортировке вставками. Зафиксируем некоторое расстояние. Тогда элементы массива разобьются на классы – в один класс попадают элементы, расстояние между которыми кратно зафиксированному расстоянию. Отсортируем сортировкой вставками каждый класс. В отличие от сортировки расческой, неизвестен оптимальный набор расстояний. Существует довольно много последовательностей с разными оценками. Последовательность Шелла – первый элемент равен длине массива, каждый следующий вдвое меньше предыдущего. Асимптотика в худшем случае – O(n2). Последовательность Хиббарда – 2n — 1, асимптотика в худшем случае – O(n1,5), последовательность Седжвика (формула нетривиальна, можете ее посмотреть по ссылке ниже) — O(n4/3), Пратта (все произведения степеней двойки и тройки) — O(nlog2n). Отмечу, что все эти последовательности нужно рассчитать только до размера массива и запускать от большего от меньшему (иначе получится просто сортировка вставками). Также я провел дополнительное исследование и протестировал разные последовательности вида si = a * si — 1 + k * si — 1 (отчасти это было навеяно эмпирической последовательностью Циура – одной из лучших последовательностей расстояний для небольшого количества элементов). Наилучшими оказались последовательности с коэффициентами a = 3, k = 1/3; a = 4, k = 1/4 и a = 4, k = -1/5.
***
Сортировка деревом / Tree sort
Будем вставлять элементы в двоичное дерево поиска. После того, как все элементы вставлены достаточно обойти дерево в глубину и получить отсортированный массив. Если использовать сбалансированное дерево, например красно-черное, асимптотика будет равна O(nlogn) в худшем, среднем и лучшем случае. В реализации использован контейнер multiset.
***
Гномья сортировка / Gnome sort
Алгоритм похож на сортировку вставками. Поддерживаем указатель на текущий элемент, если он больше предыдущего или он первый — смещаем указатель на позицию вправо, иначе меняем текущий и предыдущий элементы местами и смещаемся влево.
***
Сортировка выбором / Selection sort
На очередной итерации будем находить минимум в массиве после текущего элемента и менять его с ним, если надо. Таким образом, после i-ой итерации первые i элементов будут стоять на своих местах. Асимптотика: O(n2) в лучшем, среднем и худшем случае. Нужно отметить, что эту сортировку можно реализовать двумя способами – сохраняя минимум и его индекс или просто переставляя текущий элемент с рассматриваемым, если они стоят в неправильном порядке.
***
Пирамидальная сортировка / Heapsort
Развитие идеи сортировки выбором. Воспользуемся структурой данных «куча» (или «пирамида», откуда и название алгоритма). Она позволяет получать минимум за O(1), добавляя элементы и извлекая минимум за O(logn). Таким образом, асимптотика O(nlogn) в худшем, среднем и лучшем случае.
***
Быстрая сортировка / Quicksort
Выберем некоторый опорный элемент. После этого перекинем все элементы, меньшие его, налево, а большие – направо. Рекурсивно вызовемся от каждой из частей. В итоге получим отсортированный массив, так как каждый элемент меньше опорного стоял раньше каждого большего опорного. Асимптотика: O(nlogn) в среднем и лучшем случае, O(n2). Наихудшая оценка достигается при неудачном выборе опорного элемента. Моя реализация этого алгоритма совершенно стандартна, идем одновременно слева и справа, находим пару элементов, таких, что левый элемент больше опорного, а правый меньше, и меняем их местами. Помимо чистой быстрой сортировки, участвовала в сравнении и сортировка, переходящая при малом количестве элементов на сортировку вставками. Константа подобрана тестированием, а сортировка вставками — наилучшая сортировка, подходящая для этой задачи (хотя не стоит из-за этого думать, что она самая быстрая из квадратичных).
***
Сортировка слиянием / Merge sort
Сортировка, основанная на парадигме «разделяй и властвуй». Разделим массив пополам, рекурсивно отсортируем части, после чего выполним процедуру слияния: поддерживаем два указателя, один на текущий элемент первой части, второй – на текущий элемент второй части. Из этих двух элементов выбираем минимальный, вставляем в ответ и сдвигаем указатель, соответствующий минимуму. Слияние работает за O(n), уровней всего logn, поэтому асимптотика O(nlogn). Эффективно заранее создать временный массив и передать его в качестве аргумента функции. Эта сортировка рекурсивна, как и быстрая, а потому возможен переход на квадратичную при небольшом числе элементов.
***
Сортировка подсчетом / Counting sort
Создадим массив размера r – l, где l – минимальный, а r – максимальный элемент массива. После этого пройдем по массиву и подсчитаем количество вхождений каждого элемента. Теперь можно пройти по массиву значений и выписать каждое число столько раз, сколько нужно. Асимптотика – O(n + r — l). Можно модифицировать этот алгоритм, чтобы он стал стабильным: для этого определим место, где должно стоять очередное число (это просто префиксные суммы в массиве значений) и будем идти по исходному массиву слева направо, ставя элемент на правильное место и увеличивая позицию на 1. Эта сортировка не тестировалась, поскольку большинство тестов содержало достаточно большие числа, не позволяющие создать массив требуемого размера. Однако она, тем не менее, пригодилась
***
Блочная сортировка / Bucket sort
(также известна как корзинная и карманная сортировка). Пусть l – минимальный, а r – максимальный элемент массива. Разобьем элементы на блоки, в первом будут элементы от l до l + k, во втором – от l + k до l + 2k и т.д., где k = (r – l) / количество блоков. В общем-то, если количество блоков равно двум, то данный алгоритм превращается в разновидность быстрой сортировки. Асимптотика этого алгоритма неясна, время работы зависит и от входных данных, и от количества блоков. Утверждается, что на удачных данных время работы линейно. Реализация этого алгоритма оказалась одной из самых трудных задач. Можно сделать это так: просто создавать новые массивы, рекурсивно их сортировать и склеивать. В эффективной реализации используется несколько идей:
1) Не будем создавать новых массивов. Для этого воспользуемся техникой сортировки подсчетом – подсчитаем количество элементов в каждом блоке, префиксные суммы и, таким образом, позицию каждого элемента в массиве.
2) Не будем запускаться из пустых блоков. Занесем индексы непустых блоков в отдельный массив и запустимся только от них.
3) Проверим, отсортирован ли массив. Это не ухудшит время работы, так как все равно нужно сделать проход с целью нахождения минимума и максимума, однако позволит алгоритму ускориться на частично отсортированных данных, ведь элементы вставляются в новые блоки в том же порядке, что и в исходном массиве.
4) Поскольку алгоритм получился довольно громоздким, при небольшом количестве элементов он крайне неэффективен. До такой степени, что переход на сортировку вставками ускоряет работу примерно в 10 раз.
Осталось только понять, какое количество блоков нужно выбрать. На рандомизированных тестах мне удалось получить следующую оценку: 1500 блоков для 107 элементов и 3000 для 108. Подобрать формулу не удалось – время работы ухудшалось в несколько раз.
***
Поразрядная сортировка / Radix sort
(также известна как цифровая сортировка). Существует две версии этой сортировки, в которых, на мой взгляд, мало общего, кроме идеи воспользоваться представлением числа в какой-либо системе счисления (например, двоичной).
***
LSD (least significant digit):
Представим каждое число в двоичном виде. На каждом шаге алгоритма будем сортировать числа таким образом, чтобы они были отсортированы по первым k * i битам, где k – некоторая константа. Из данного определения следует, что на каждом шаге достаточно стабильно сортировать элементы по новым k битам. Для этого идеально подходит сортировка подсчетом (необходимо 2k памяти и времени, что немного при удачном выборе константы). Асимптотика: O(n), если считать, что числа фиксированного размера (а в противном случае нельзя было бы считать, что сравнение двух чисел выполняется за единицу времени). Реализация довольно проста.
***
MSD (most significant digit):
На самом деле, некоторая разновидность блочной сортировки. В один блок будут попадать числа с равными k битами. Асимптотика такая же, как и у LSD версии. Реализация очень похожа на блочную сортировку, но проще. В ней используется функция digit, определенная в реализации LSD версии.
***
Битонная сортировка / Bitonic sort:
Идея данного алгоритма заключается в том, что исходный массив преобразуется в битонную последовательность – последовательность, которая сначала возрастает, а потом убывает. Ее можно эффективно отсортировать следующим образом: разобьем массив на две части, создадим два массива, в первый добавим все элементы, равные минимуму из соответственных элементов каждой из двух частей, а во второй – равные максимуму. Утверждается, что получатся две битонные последовательности, каждую из которых можно рекурсивно отсортировать тем же образом, после чего можно склеить два массива (так как любой элемент первого меньше или равен любого элемента второго). Для того, чтобы преобразовать исходный массив в битонную последовательность, сделаем следующее: если массив состоит из двух элементов, можно просто завершиться, иначе разделим массив пополам, рекурсивно вызовем от половинок алгоритм, после чего отсортируем первую часть по порядку, вторую в обратном порядке и склеим. Очевидно, получится битонная последовательность. Асимптотика: O(nlog2n), поскольку при построении битонной последовательности мы использовали сортировку, работающую за O(nlogn), а всего уровней было logn. Также заметим, что размер массива должен быть равен степени двойки, так что, возможно, придется его дополнять фиктивными элементами (что не влияет на асимптотику).
***
Timsort
Гибридная сортировка, совмещающая сортировку вставками и сортировку слиянием. Разобьем элементы массива на несколько подмассивов небольшого размера, при этом будем расширять подмассив, пока элементы в нем отсортированы. Отсортируем подмассивы сортировкой вставками, пользуясь тем, что она эффективно работает на отсортированных массивах. Далее будем сливать подмассивы как в сортировке слиянием, беря их примерно равного размера (иначе время работы приблизится к квадратичному). Для этого удобного хранить подмассивы в стеке, поддерживая инвариант — чем дальше от вершины, тем больше размер, и сливать подмассивы на верхушке только тогда, когда размер третьего по отдаленности от вершины подмассива больше или равен сумме их размеров. Асимптотика: O(n) в лучшем случае и O(nlogn) в среднем и худшем случае.
***
Отсюда...Там ещё тестирование на разных типах данных есть и результаты сравнения по скорости и т.п.
Это сообщение отредактировал Уфимский - 13.04.2020 - 15:21
yaplakal.com