Цуцик - это собака. Была очень популярная собачья кличка при царях. А замерз он потому, что никому дворовую собаку в дом пускать в голову не приходило. Все равно что на улицу без шапки выйти - такого просто быть не могло!
А зимой на улице довольно холодно, причем далеко не у всякого Цуцика и конура то была, чаще просто цепь с ошейником и несколько каких то дровин, чтоб на земле не лежать.
yaplakal.com